Zeal Study Quiz Corner 10th Standard Mathematics TNCM Talent Search Exam Preparation - Unit 1: Relations and Functions / உறவுகளும் சார்புகளும்

Zeal Study Quiz Corner

10th Standard Mathematics - Unit 1: Relations and Functions / உறவுகளும் சார்புகளும்
TNCM Talent Search Exam Preparation (30 Marks)

1. n(A × B) = 20 மற்றும் n(A) = 5 எனில், n(B) இன் மதிப்பு என்ன? If n(A × B) = 20 and n(A) = 5, then n(B) is:

15

4

25

100

விளக்கம்: கார்டீசியன் பெருக்கலின் சூத்திரம்: n(A × B) = n(A) × n(B). எனவே, 20 = 5 × n(B) => n(B) = 20 / 5 = 4.
Explanation: Formula: n(A × B) = n(A) × n(B). Substituting the given values, 20 = 5 × n(B) => n(B) = 4.

2. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அம்புக்கோடு படம் எவ்வகைச் சார்பினைக் (Type of Function) குறிக்கிறது? Which type of function is represented by the arrow diagram shown below?

A

1

2

3

1 ➔ a

2 ➔ b

3 ➔ c

B

a

b

c

d

மேல்சார்பு / Onto function

ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு / One-to-One function

பலவற்றிலிருந்து ஒன்றுக்கான சார்பு / Many-to-One function

சார்பு அல்ல / Not a function

விளக்கம்: கணம் A-யில் உள்ள வெவ்வேறான உறுப்புகளுக்குக் கணம் B-யில் வெவ்வேறான நிழல் உருக்கள் (Distinct Images) உள்ளதால், இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு ஆகும். இங்கு 'd' விடுபட்டுள்ளதால் இது மேல்சார்பு அல்ல.
Explanation: Since distinct elements in set A have distinct images in set B, it is a one-to-one function.

3. A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {a, b} எனில், A இலிருந்து B க்கான மொத்த உறவுகளின் (Total number of relations) எண்ணிக்கை என்ன? If A = {1, 2, 3, 4} and B = {a, b}, then the total number of relations from A to B is:

8

16

64

256

விளக்கம்: n(A) = 4, n(B) = 2 எனில் n(A × B) = 4 × 2 = 8. மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 2 இன் அடுக்கு n(A × B) = 2⁸ = 256.
Explanation: n(A × B) = 4 × 2 = 8. Total relations = 2 raised to the power of n(A × B) = 2⁸ = 256.

4. f(x) = 2x² மற்றும் g(x) = 3x + 1 எனில், fog(x) இன் மதிப்பு என்ன? If f(x) = 2x² and g(x) = 3x + 1, then the composition fog(x) is:

6x² + 1

2(3x + 1)²

6x² + 2

(6x + 2)²

விளக்கம்: fog(x) = f(g(x)) = f(3x + 1). f(x)-ல் x-க்கு பதிலாக (3x + 1) எனப் பிரதியிட வேண்டும். எனவே, f(3x + 1) = 2(3x + 1)².
Explanation: fog(x) = f(g(x)) = f(3x + 1). Substituting (3x + 1) in place of x in f(x) yields 2(3x + 1)².

5. f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} என்ற சார்பின் வீச்சகம் (Range) காண்க: Find the Range of the function f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}:

{1, 2, 3, 4}

{2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5}

{2, 4}

விளக்கம்: வரிசைச் சோடி ஜோடிகளில் உள்ள இரண்டாவது உறுப்புகளின் கணமே வீச்சகம் எனப்படும். எனவே வீச்சகம் = {2, 3, 4, 5}. (முதல் உறுப்புகள் மதிப்பகம் ஆகும்).
Explanation: The set of all second elements in the ordered pairs forms the Range. Range = {2, 3, 4, 5}.

6. A × B = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} எனில், கணம் A இன் உறுப்புகள் யாவை? If A × B = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}, then set A is:

{3, 4}

{2, 3}

{2, 4}

{2, 3, 4}

விளக்கம்: A × B-ல் உள்ள வரிசைச் சோடிகளின் முதல் உறுப்புகளின் கணமே A ஆகும். முதல் உறுப்புகள் 2 மற்றும் 3 ஆகும். எனவே A = {2, 3}.
Explanation: Set A is the set of all first elements of the ordered pairs in A × B. Thus, A = {2, 3}.

7. f(x) = (x + 1)³ - (x - 1)³ என்ற சார்பு எவ்வகைச் சார்பைக் குறிக்கும்? The function f(x) = (x + 1)³ - (x - 1)³ represents:

ஒரு நேரியல் சார்பு / A linear function

ஒரு இருபடிச் சார்பு / A quadratic function

ஒரு கனச் சார்பு / A cubic function

மாறிலிச் சார்பு / A constant function

விளக்கம்: சமன்பாட்டைச் சுருக்கினால்: f(x) = (x³ + 3x² + 3x + 1) - (x³ - 3x² + 3x - 1) = 6x² + 2. இதன் அதிகபட்ச அடுக்கு 2 என்பதால் இது இருபடிச் சார்பு.
Explanation: Expanding and simplifying the expression gives f(x) = 6x² + 2. Since the highest degree is 2, it is a quadratic function.

8. மதிப்பகத்தின் வெவ்வேறான உறுப்புகளுக்குத் துணை மதிப்பகத்தில் ஒரே ஒரு நிழல் உரு இருந்தால் அச்சார்பு ______ எனப்படும். A function in which all elements of the domain map to a single element in the co-domain is called:

அடையாளச் சார்பு / Identity function

மாறிலிச் சார்பு / Constant function

ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு / One-to-one function

நேரியல் சார்பு / Linear function

விளக்கம்: f(x) = c (மாறிலி). மதிப்பகத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்பு கொண்டிருப்பது மாறிலிச் சார்பு.
Explanation: When every element in the domain maps to the exact same single element in the co-domain, it is a constant function.

9. n(A) = m மற்றும் n(B) = n எனில், A இலிருந்து B-க்குக் கிடைக்கப் பெறும் வெற்று உறவு அல்லாத மொத்த சார்புகளின் எண்ணிக்கை என்ன? If n(A) = m and n(B) = n, then the total number of functions that can be defined from A to B is:

m நாற்கர அடுக்கு n / m raised to n

n இன் அடுக்கு m / n raised to m

m × n

2 raised to mn

விளக்கம்: A இலிருந்து B க்கான மொத்த சார்புகளின் எண்ணிக்கை n(B) இன் அடுக்கு n(A) ஆகும், அதாவது n raised to m.
Explanation: The formula for the total number of functions from set A to set B is n(B) raised to the power of n(A) = n^m.

10. f(x) = -5x + 3 என்ற சார்பின் வரைபடம் (Graph) எத்தகைய வடிவம் உடையது? The graphical representation of the function f(x) = -5x + 3 is a:

நேர்க்கோடு / Straight Line

பரவளையம் / Parabola

வட்டம் / Circle

அதிபரவளையம் / Hyperbola

விளக்கம்: f(x) = -5x + 3 என்பது ஒரு நேரியல் சார்பு (Linear function) ஆகும். அனைத்து நேரியல் சார்புகளின் வரைபடமும் ஒரு நேர்க்கோடே ஆகும்.
Explanation: Since f(x) = -5x + 3 is a first-degree polynomial (linear function), its graph is always a straight line.

11. f(x) = x² - x எனில், f(-2) இன் மதிப்பு காண்க: If f(x) = x² - x, find the value of f(-2):

2

6

-6

4

விளக்கம்: f(-2) = (-2)² - (-2) = 4 + 2 = 6. (எதிர்மறை எண்களின் வர்க்கம் நேர்மறையாகும்).
Explanation: f(-2) = (-2)² - (-2) = 4 + 2 = 6.

12. ஒரு சார்பின் வீச்சகமானது (Range), அதன் துணை மதிப்பகத்திற்குச் (Co-domain) சமமாக இருந்தால், அச்சார்பு ______ எனப்படும். If the range of a function is equal to its co-domain, then the function is called:

உள்நோக்கிய சார்பு / Into function

மேல்சார்பு / Onto function

அடையாளச் சார்பு / Identity function

மாறிலிச் சார்பு / Constant function

விளக்கம்: துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் மதிப்பகத்தில் முன் உருக்கள் இருந்தால் வீச்சகம் = துணை மதிப்பகம் ஆகும். இது மேல்சார்பு (Onto function) எனப்படும்.
Explanation: An onto function (surjective) is a function where every element in the co-domain is mapped to, making Range = Co-domain.

13. f(x) = x3 என்ற கனச் சார்பிற்கு (Cubic function) கீழ்வருவனவற்றுள் எது சரியான கூற்றாகும்? Which of the following statements is true for the cubic function f(x) = x3?

இது ஒரு இருபுறச் சார்பு / It is a Bijective function

இது மேல்சார்பு அல்ல / It is not an onto function

இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு அல்ல / It is not one-to-one

இது ஒரு மாறிலிச் சார்பு / It is a constant function

விளக்கம்: f(x) = x3 என்பது மெய்யெண் கணத்தில் ஒன்றுக்கொன்றானதாகவும் மற்றும் மேல்சார்பாகவும் இருக்கும். எனவே இது இருபுறச் சார்பு (Bijection) ஆகும்.
Explanation: The cubic function f: R ➔ R is both injective (one-to-one) and surjective (onto), hence it is bijective.

14. f(x) = 2x + k மற்றும் fog = gof எனில், k இன் மதிப்பு என்ன? (இங்கு g(x) = 3x + 2) If f(x) = 2x + k, g(x) = 3x + 2 and fog = gof, find the value of k:

k = 2

k = 1

k = -1

k = 0

விளக்கம்: fog(x) = 2(3x+2)+k = 6x+4+k. gof(x) = 3(2x+k)+2 = 6x+3k+2. இரண்டையும் சமன்படுத்த: 4+k = 3k+2 => 2k = 2 => k = 1.
Explanation: fog(x) = gof(x) => 6x + 4 + k = 6x + 3k + 2 => 2k = 2 => k = 1.

15. f: A ➔ B ஒரு இருபுறச் சார்பு (Bijective function) மற்றும் n(A) = 7 எனில், n(B) இன் மதிப்பு என்ன? If f: A ➔ B is a bijective function and n(A) = 7, then n(B) is equal to:

14

49

7

1

விளக்கம்: ஒரு சார்பு இருபுறச் சார்பாக இருக்க வேண்டுமாயின், மதிப்பகம் மற்றும் துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும் [n(A) = n(B)]. எனவே n(B) = 7.
Explanation: For a finite set, a bijective function implies that the number of elements in both sets must be equal. Thus, n(B) = n(A) = 7.

16. f(x) = kx + 2 என்பது ஒரு அடையாளச் சார்பு (Identity function) எனில், k இன் மதிப்பு என்ன? If f(x) = kx + 2 represents an identity function, what is the value of k?

k = 1

k = 2

k = 0

இத்தகைய சார்பு சாத்தியமில்லை / No such function exists

விளக்கம்: அடையாளச் சார்பின் பொது வடிவம் f(x) = x ஆகும். இங்கு மாறிலி உறுப்பு 2 வந்துள்ளதால், k-க்கு எந்த மதிப்பு கொடுத்தாலும் இது அடையாளச் சார்பாக மாறாது. எனவே இத்தகைய சார்பு சாத்தியமில்லை.
Explanation: An identity function is always of the form f(x) = x. The constant 2 prevents this expression from becoming an identity function for any value of k.

17. (x + 2, 4) = (5, y - 1) எனில், (x, y) இன் மதிப்பு காண்க: If (x + 2, 4) = (5, y - 1), find the values of (x, y):

(3, 5)

(5, 3)

(2, 4)

(7, 3)

விளக்கம்: ஒத்த உறுப்புகளைச் சமன்படுத்த வேண்டும்: x + 2 = 5 => x = 3. மற்றும் y - 1 = 4 => y = 5. எனவே (x, y) = (3, 5).
Explanation: Equating corresponding elements: x + 2 = 5 => x = 3; y - 1 = 4 => y = 5. Thus, (x, y) = (3, 5).

18. கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புப் பண்புகளில் (Composition of functions) எக்கூற்று எப்போதும் உண்மையானது? Which property of composition of functions is generally true?

fog = gof (பரிமாற்று விதி) / Commutative

(fog)oh = fo(goh) (சேர்ப்பு விதி) / Associative

இரண்டும் உண்மை / Both are true

இரண்டும் தவறு / Both are false

விளக்கம்: சார்புகளின் சேர்ப்பானது பொதுவாகப் பரிமாற்று விவிக்கு உட்பட்டதல்ல (fog ≠ gof), ஆனால் அது எப்போதும் சேர்ப்பு விதியை நிறைவு செய்யும் [(fog)oh = fo(goh)].
Explanation: Composition of functions is not commutative in general, but it is always associative.

19. f(x) = x² என்ற சார்பின் வரைபடம் எவ்வடிவத்தைக் குறிக்கும்? The graph of the function f(x) = x² represents a:

நேர்க்கோடு / Straight Line

பரவளையம் / Parabola

வட்டம் / Circle

வளைகோடு மட்டும் / Simple wave

விளக்கம்: f(x) = x² என்பது ஒரு தலைகீழ் அல்லாத இருபடிச் சார்பு (Quadratic function). அனைத்து இருபடிச் சார்புகளின் வரைபட வடிவமும் பரவளையமாக (Parabola) இருக்கும்.
Explanation: The graph of any quadratic function forms a U-shaped curve known as a parabola.

20. A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4} எனில், கீழ்வருவனவற்றுள் எது A இலிருந்து B க்கான சார்பு ஆகாது? If A = {1, 2} and B = {1, 2, 3, 4}, which of the following is NOT a function from A to B?

{(1, 2), (2, 3)}

{(1, 1), (2, 1)}

{(1, 2), (1, 3)}

{(1, 4), (2, 4)}

விளக்கம்: ஒரு சார்பின் மதிப்பகத்தில் உள்ள ஓர் உறுப்பிற்கு ஒரே ஒரு நிழல் உரு மட்டுமே இருக்க வேண்டும். ஆனால் விடை இ-ல் '1' என்ற உறுப்பிற்கு 2 மற்றும் 3 என இரண்டு நிழல் உருக்கள் உள்ளதால் அது சார்பு ஆகாது. மேலும் '2' என்ற உறுப்பிற்கு ஜோடி இல்லை.
Explanation: In a function, each element in the domain must map to exactly one element in the co-domain. In option c, 1 maps to both 2 and 3, which violates this rule.

21. n(A) = p மற்றும் n(B) = q எனில், A மற்றும் B ஆகிய கணங்களுக்கு இடையே உருவாக்கப்படும் மொத்த கார்டீசியன் பெருக்கல் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்ன? If n(A) = p and n(B) = q, then the total number of elements in the Cartesian product A × B is:

p + q

pq

p raised to q

2 raised to pq

விளக்கம்: கார்டீசியன் பெருக்கல் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சூத்திரம்: n(A × B) = n(A) × n(B) = p × q = pq.
Explanation: The cardinal number of the Cartesian product is the product of the cardinal numbers of the sets: n(A × B) = p × q = pq.

22. f(x) = 3x - 5 என்ற சார்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (a, 4) என்ற ஜோடி இச்சார்பில் அமைந்தால், a இன் மதிப்பு என்ன? Given the function f(x) = 3x - 5. If the ordered pair (a, 4) lies in the function, find a:

1

3

4

9

விளக்கம்: (a, 4) என்பது f(a) = 4 குறிக்கும். 3a - 5 = 4 => 3a = 9 => a = 3.
Explanation: Since f(a) = 4, we have 3a - 5 = 4 => 3a = 9 => a = 3.

23. கணம் A-ல் உள்ள வெவ்வேறான உறுப்புகளுக்குத் துணை மதிப்பகத்தில் வெவ்வேறான நிழல் உருக்கள் இருக்கும் சார்பு எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது? A function f: A ➔ B is called ______ if distinct elements of A have distinct images in B.

ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு / One-to-One function (Injective)

மேல்சார்பு / Onto function

பலவற்றிலிருந்து ஒன்றுக்கான சார்பு / Many-to-One function

மாறிலிச் சார்பு / Constant function

விளக்கம்: ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு (Injective) என்பது மதிப்பகத்தின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் துணை மதிப்பகத்தின் வெவ்வேறான உறுப்புகளோடு தொடர்பு கொள்ளும் சார்பாகும்.
Explanation: An injective or one-to-one function maps distinct elements of the domain to distinct elements of the co-domain.

24. f(x) = mx + c என்ற நேரியல் சார்பு (Linear function) ஆதிப்புள்ளி (Origin) வழியாகச் சென்றால், c இன் மதிப்பு என்ன? If the linear function f(x) = mx + c passes through the origin, then the value of c is:

1

m

0

-1

விளக்கம்: வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி (0,0) வழியாகச் சென்றால், f(0) = 0 ஆக வேண்டும். m(0) + c = 0 => c = 0.
Explanation: Passing through the origin (0,0) implies f(0) = 0. Substituting x=0 gives m(0) + c = 0 => c = 0.

25. f(x) = x மற்றும் g(x) = |x| என வரையறுக்கப்பட்டால், f + g(x) இன் மதிப்பு x < 0 ஆக இருக்கும்போது என்னவாக இருக்கும்? If f(x) = x and g(x) = |x|, what is the value of (f + g)(x) when x < 0?

2x

0

-2x

x

விளக்கம்: x < 0 (எதிர்மறை எண்கள்) ஆக இருக்கும் போது, |x| = -x ஆகும். எனவே (f + g)(x) = x + (-x) = 0.
Explanation: For x < 0, the absolute value function |x| equals -x. Therefore, (f + g)(x) = x + (-x) = 0.

26. f(x) = 5 என்ற மாறிலிச் சார்பின் மதிப்பகம் மெய்யெண் கணம் (R) எனில், அதன் வீச்சகம் (Range) என்ன? What is the range of the constant function f(x) = 5 if its domain is the set of real numbers R?

R

{5}

{0}

{ }

விளக்கம்: மாறிலிச் சார்பின் வீச்சகத்தில் எப்போதும் ஒரே ஒரு உறுப்பு மட்டுமே இருக்கும். இங்கு f(x)-ன் மதிப்பு எப்போதும் 5 என்பதால் வீச்சகம் = {5}.
Explanation: The range of a constant function contains only the single constant value mapped by it, which is {5}.

27. f(x) = 1 / x என்ற சார்பின் மதிப்பகத்தில் (Domain) எந்த எண் இடம் பெறாது? Which number is excluded from the domain of the real-valued function f(x) = 1 / x?

1

-1

0

அனைத்து எண்களும் இருக்கும் / None

விளக்கம்: x = 0 எனில் f(0) = 1/0 (வரையறுக்கப்படாத மதிப்பு) என மாறும். எனவே இச்சார்பின் மதிப்பகம் R - {0} ஆகும். விடுபடும் எண் 0.
Explanation: Division by zero is undefined, so x cannot be 0. The domain of f(x) = 1/x is R - {0}.

28. ஒரு வரைபடம் சார்பைக் குறிக்கிறதா என்பதைச் சோதிக்க எந்தச் சோதனை பயன்படுத்தப்படுகிறது? Which test is used to determine whether a given curve on a graph represents a function?

குத்துக்கோட்டுச் சோதனை / Vertical Line Test

கிடைமட்டக்கோட்டுச் சோதனை / Horizontal Line Test

வளைகோட்டுச் சோதனை / Wave test

ஆதிப்புள்ளிச் சோதனை / Origin test

விளக்கம்: வரைபடத்தில் வரையப்படும் ஒரு குத்துக்கோடு வளைகோட்டை அதிகபட்சமாக ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே வெட்டினால் அது சார்பாகும். (கிடைமட்டக்கோட்டுச் சோதனை ஒன்றுக்கொன்றான சார்பைச் சோதிக்கப் பயன்படுகிறது).
Explanation: The vertical line test determines if a curve is a function (intersects at most once). The horizontal line test checks for one-to-one property.

29. f(x) = x மற்றும் g(x) = 1 / x எனில், fog(x) இன் மதிப்பு என்ன? If f(x) = x and g(x) = 1 / x, find fog(x):

x

1 / x

1

x²

விளக்கம்: fog(x) = f(g(x)) = f(1 / x). f(x) = x (அடையாளச் சார்பு) என்பதால், f(1 / x) = 1 / x ஆகும்.
Explanation: fog(x) = f(g(x)) = f(1/x). Since f(x) = x is the identity function, f(1/x) remains 1/x.

30. A = {a, b, c} மற்றும் B = { } (வெற்றுக் கணம்) எனில், n(A × B) இன் மதிப்பு என்ன? If A = {a, b, c} and B = { } (empty set), find n(A × B):

3

0

1

முடிவிலி / Infinity

விளக்கம்: n(A) = 3, n(B) = 0. எனவே, n(A × B) = n(A) × n(B) = 3 × 0 = 0 ஆகும். வெற்றுக் கணத்துடன் கார்டீசியன் பெருக்கல் செய்ய இயலாது.
Explanation: n(A) = 3 and n(B) = 0. Therefore, n(A × B) = 3 × 0 = 0.