Zeal Study Quiz Corner 10th Standard Mathematics TNCM Talent Search Exam Preparation - Exercise 2.1: Euclid's Division Lemma / யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றம்
Zeal Study Quiz Corner
10th Standard Mathematics - Exercise 2.1: Euclid's Division Lemma / யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றம்
TNCM Talent Search Exam Preparation (30 Marks)
1. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி a = bq + r என்பதில், மீதி 'r' இன் அமையத்தக்க எல்லை (Condition for remainder r) எது?
According to Euclid's Division Lemma a = bq + r, the condition satisfied by remainder 'r' is:
விளக்கம்: யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி மீதி 'r' ஆனது எப்போதும் 0 ஆகவோ அல்லது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ மற்றும் வகுக்கும் எண் |b| ஐ விடக் குறைவாகவோ இருக்கும் (0 ≤ r < |b|).
Explanation: In Euclid's Division Lemma, the remainder r satisfies the condition 0 ≤ r < |b|.
Explanation: In Euclid's Division Lemma, the remainder r satisfies the condition 0 ≤ r < |b|.
2. கீழே உள்ள படத்தில் காப்பப்பட்டுள்ளவாறு, 3 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 2 ஐத் தரும் அனைத்து மிகை முழுக்களைக் (Positive integers) குறிக்கும் பொது வடிவம் எது?
Identify the general form of all positive integers which when divided by 3 leave remainder 2:
a = bq + r ➔ a = 3k + 2
இங்கு k = 0, 1, 2, 3, ... (k is a non-negative integer)
விளக்கம்: a = 3k + 2. k = 0, 1, 2, 3... எனப் பிரதியிடக் கிடைக்கும் எண்கள்: 2, 5, 8, 11, 14, ... ஆகும்.
Explanation: Substituting k = 0, 1, 2, 3... in a = 3k + 2 gives 2, 5, 8, 11, 14, ...
Explanation: Substituting k = 0, 1, 2, 3... in a = 3k + 2 gives 2, 5, 8, 11, 14, ...
3. ஒரு மிகை முழுவை 13 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 11 கிடைக்கிறது எனில், அதே எண்ணை 13 இன் மடங்கால் வகுக்கும் போது வரக்கூடிய மீதி என்ன?
A positive integer when divided by 13 leaves a remainder 11. What will be the remainder if it is divided by 13?
விளக்கம்: கொடுக்கப்பட்ட கூற்றின்படி n = 13q + 11. எனவே அதே 13 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி மாறாமல் 11 ஆகவே இருக்கும்.
Explanation: By Euclid's lemma, n = 13q + 11. Dividing the same expression by 13 yields remainder 11.
Explanation: By Euclid's lemma, n = 13q + 11. Dividing the same expression by 13 yields remainder 11.
4. எந்தவொரு இரட்டை மிகை முழுவின் (Even positive integer) பொது வடிவம் எவ்வகையில் அமையும்?
Any positive even integer is always of the form (where 'q' is an integer):
விளக்கம்: 2 ஆல் முழுமையாக வகுபடும் எண்கள் இரட்டை எண்கள். எனவே அதன் பொது வடிவம் 2q ஆகும்.
Explanation: Any number multiplied by 2 is an even number, so the form is 2q.
Explanation: Any number multiplied by 2 is an even number, so the form is 2q.
5. எந்தவொரு ஒற்றை மிகை முழுவின் (Odd positive integer) பொது வடிவம் எவ்வகையில் அமையும்?
Any positive odd integer is always of the form (where 'q' is an integer):
விளக்கம்: இரட்டை எண்ணுடன் 1 ஐக் கூட்டினால் ஒற்றை எண் கிடைக்கும். எனவே ஒற்றை எண்ணின் பொது வடிவம் 2q + 1 ஆகும்.
Explanation: Adding 1 to an even integer (2q) results in an odd integer (2q + 1).
Explanation: Adding 1 to an even integer (2q) results in an odd integer (2q + 1).
6. தொடர்ச்சியான இரு மிகை முழுக்களின் பெருக்கற்பலன் (Product of two consecutive positive integers) எப்போதும் எதால் வகுபடும்?
The product of two consecutive positive integers is always divisible by:
விளக்கம்: n(n + 1) என்பதில் ஒன்று கண்டிப்பாக இரட்டை எண்ணாக இருக்கும். எனவே இரு அடுத்தடுத்த எண்களின் பெருக்கல் 2 ஆல் வகுபடும்.
Explanation: Out of two consecutive numbers, one is always even. Thus, n(n+1) is divisible by 2.
Explanation: Out of two consecutive numbers, one is always even. Thus, n(n+1) is divisible by 2.
7. யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் (Euclid's Division Algorithm) பயன்படுத்தி இரு எண்களின் மீ.பொ.வ (HCF) காணும் போது, மீதி என்ன வரும் வரை வகுத்தல் தொடர வேண்டும்?
In Euclid's Division Algorithm for HCF, the process is continued till the remainder becomes:
விளக்கம்: வகுத்தல் முறையில் மீதி பூஜ்ஜியம் (0) வரும் வரை படிநிலைகள் தொடரும். மீதி 0 வரும் போது உள்ள வகுக்கும் எண்ணே மீ.பொ.வ ஆகும்.
Explanation: The division process is repeated until remainder becomes 0, at which point the divisor is the HCF.
Explanation: The division process is repeated until remainder becomes 0, at which point the divisor is the HCF.
8. 340 மற்றும் 412 ஆகிய எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (HCF) என்ன?
Find the HCF of 340 and 412 using Euclid's division algorithm:
விளக்கம்: 412 = 340(1) + 72 ➔ 340 = 72(4) + 52 ➔ 72 = 52(1) + 20 ➔ 52 = 20(2) + 12 ➔ 20 = 12(1) + 8 ➔ 12 = 8(1) + 4 ➔ 8 = 4(2) + 0. மீதி 0 வரும் போது வகுக்கும் எண் 4 ஆகும்.
Explanation: Applying Euclid's algorithm sequentially yields final non-zero remainder divisor as 4.
Explanation: Applying Euclid's algorithm sequentially yields final non-zero remainder divisor as 4.
9. 84 மற்றும் 90 ஆகிய எண்களின் மீ.பொ.வ (HCF) என்ன?
What is the HCF of 84 and 90?
விளக்கம்: 90 = 84(1) + 6. அடுத்து 84 = 6(14) + 0. மீதி 0 ஆகும் போது வகுக்கும் எண் 6 ஆகும்.
Explanation: 90 = 84(1) + 6, then 84 = 6(14) + 0. The HCF is 6.
Explanation: 90 = 84(1) + 6, then 84 = 6(14) + 0. The HCF is 6.
10. 10224 மற்றும் 9648 ஆகிய எண்களின் மீ.பொ.வ (HCF) காண்க:
Find the Highest Common Factor (HCF) of 10224 and 9648:
விளக்கம்: 10224 = 9648(1) + 576 ➔ 9648 = 576(16) + 432 ➔ 576 = 432(1) + 144 ➔ 432 = 144(3) + 0. எனவே HCF = 144.
Explanation: Performing steps in Euclid's algorithm yields HCF = 144.
Explanation: Performing steps in Euclid's algorithm yields HCF = 144.
11. 84, 90 மற்றும் 120 ஆகிய மூன்று எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (HCF of three numbers) என்ன?
Find the HCF of the three numbers 84, 90, and 120:
விளக்கம்: முதலில் 84, 90 இன் HCF = 6. அடுத்து 6 மற்றும் 120 இன் HCF காண்கிறோம்: 120 = 6(20) + 0. எனவே ஒட்டுமொத்த HCF = 6.
Explanation: HCF(84, 90) = 6. Now HCF(6, 120) = 6. Thus, HCF of all three is 6.
Explanation: HCF(84, 90) = 6. Now HCF(6, 120) = 6. Thus, HCF of all three is 6.
12. ஒரு ஒற்றை மிகை முழுவின் வர்க்கத்தை (Square of an odd integer) 4 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதி எப்போதும் என்னவாக இருக்கும்?
The square of any odd integer when divided by 4 always leaves a remainder of:
விளக்கம்: ஒற்றை எண் x = 2k + 1. அதன் வர்க்கம் x² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1. இதை 4 ஆல் வகுத்தால் மீதி எப்போதும் 1 கிடைக்கும்.
Explanation: (2k+1)² = 4(k²+k) + 1. Dividing this polynomial by 4 leaves remainder 1.
Explanation: (2k+1)² = 4(k²+k) + 1. Dividing this polynomial by 4 leaves remainder 1.
13. 13824 ஐ எந்த மிகச்சிறிய எண்ணால் பெருக்கினால் அது ஒரு முழு வர்க்க எண்ணாக மாறும்?
Find the smallest number by which 13824 must be multiplied so that the product becomes a perfect square:
விளக்கம்: 13824 = 2⁹ × 3³ = (2⁸ × 3²) × (2 × 3) = (2⁸ × 3²) × 6. சோடியாக இல்லாத எண்கள் 2 மற்றும் 3 ஆகும். 2 × 3 = 6 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.
Explanation: Prime factorization yields 2⁹ × 3³. To make exponents even, multiply by 2 × 3 = 6.
Explanation: Prime factorization yields 2⁹ × 3³. To make exponents even, multiply by 2 × 3 = 6.
14. 255 மற்றும் 867 இன் மீ.பொ.வ (HCF) ஐ 867x - 255y வடிவில் எழுத முடிந்தால் x மற்றும் y இன் மதிப்புகள் யாவை?
If HCF of 255 and 867 is expressed as 867x - 255y, find values of x and y:
விளக்கம்: HCF(867, 255) = 51. 867(2) - 255(6.7) = 1734 - 1683 = 51. எனவே x = 2, y = 6.78.
Explanation: HCF(867, 255) = 51. Writing in linear combination format gives appropriate values.
Explanation: HCF(867, 255) = 51. Writing in linear combination format gives appropriate values.
15. எந்தவொரு மிகை முழு 'n' க்கும், n³ - n என்பது எதால் வகுபடும்?
For any positive integer 'n', n³ - n is always divisible by:
விளக்கம்: n³ - n = n(n² - 1) = (n - 1)n(n + 1). இது மூன்று அடுத்தடுத்த முழுக்களின் பெருக்கற்பலனாகும். மூன்று தொடர் எண்களின் பெருக்கல் எப்போது 6 ஆல் வகுபடும்.
Explanation: n³ - n = (n-1)n(n+1) is a product of 3 consecutive integers, which is always divisible by 3! = 6.
Explanation: n³ - n = (n-1)n(n+1) is a product of 3 consecutive integers, which is always divisible by 3! = 6.
16. a, b, c என்ற மூன்று மிகை எண்களை 13 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள் முறையே 9, 7 மற்றும் 10 எனில், (a + b + c) ஐ 13 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதி என்ன?
If remainders of a, b, c divided by 13 are 9, 7, 10 respectively, find the remainder when (a + b + c) is divided by 13:
விளக்கம்: மீதிகளின் கூடுதல் = 9 + 7 + 10 = 26. 26 ஐ 13 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0 கிடைக்கும்.
Explanation: Sum of remainders = 9 + 7 + 10 = 26. Dividing 26 by 13 gives a remainder of 0.
Explanation: Sum of remainders = 9 + 7 + 10 = 26. Dividing 26 by 13 gives a remainder of 0.
17. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றம் எந்த வகையான எண்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்?
Euclid's Division Lemma is applicable for:
விளக்கம்: யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றம் முழுக்கள் (Integers - a, b, q, r) அமைப்பிற்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
Explanation: Euclid's division lemma specifically operates within the realm of integers.
Explanation: Euclid's division lemma specifically operates within the realm of integers.
18. 396, 504 மற்றும் 636 ஆகிய எண்களின் மீ.பொ.வ (HCF) காண்க:
Find the HCF of 396, 504, and 636:
விளக்கம்: HCF(396, 504) = 36. அடுத்து HCF(36, 636) = 12. எனவே மூன்று எண்களின் HCF = 12.
Explanation: HCF of 396 and 504 is 36. Then HCF of 36 and 636 is 12.
Explanation: HCF of 396 and 504 is 36. Then HCF of 36 and 636 is 12.
19. 'a' மற்றும் 'b' என்பன இரு சார்பகா எண்கள் (Co-prime numbers) எனில் அவற்றின் மீ.பொ.வ (HCF) என்னவாக இருக்கும்?
If 'a' and 'b' are two co-prime numbers, then their HCF is always:
விளக்கம்: சார்பகா எண்கள் என்பது 1 ஐத் தவிர வேறு பொதுவான காரணிகள் இல்லாத எண்கள் ஆகும். எனவே அவற்றின் HCF = 1.
Explanation: Co-prime numbers share no common factors other than 1, so their HCF is 1.
Explanation: Co-prime numbers share no common factors other than 1, so their HCF is 1.
20. 255 ஐ 8 ஆல்ப வகுக்கும் போது கிடைக்கும் ஈவு 'q' மற்றும் மீதி 'r' முறையே யாவை?
When 255 is divided by 8, the quotient 'q' and remainder 'r' are respectively:
விளக்கம்: 255 = 8(31) + 7. இங்கு ஈவு q = 31 மற்றும் மீதி r = 7.
Explanation: 255 = 8 × 31 + 7. Quotient q = 31, remainder r = 7.
Explanation: 255 = 8 × 31 + 7. Quotient q = 31, remainder r = 7.
21. -17 ஐ 3 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதி 'r' என்ன?
Find the remainder 'r' when -17 is divided by 3 using a = bq + r (0 ≤ r < b):
விளக்கம்: -17 = 3(-6) + 1. இங்கு மீதி r = 1 (மீதி எப்போதும் எதிர்மறையாக இருக்கக் கூடாது, 0 ≤ r < 3).
Explanation: -17 = 3(-6) + 1. Since remainder must be non-negative (0 ≤ r < 3), r = 1.
Explanation: -17 = 3(-6) + 1. Since remainder must be non-negative (0 ≤ r < 3), r = 1.
22. -19 ஐ -5 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் ஈவு 'q' மற்றும் மீதி 'r' என்ன?
Find quotient 'q' and remainder 'r' when -19 is divided by -5:
விளக்கம்: -19 = (-5)(4) + 1. [இங்கு -20 + 1 = -19]. ஈவு q = 4, மீதி r = 1.
Explanation: -19 = (-5)(4) + 1. Quotient q = 4, remainder r = 1 (0 ≤ r < 5).
Explanation: -19 = (-5)(4) + 1. Quotient q = 4, remainder r = 1 (0 ≤ r < 5).
23. 3 ஆல் வகுபடும் எந்தவொரு ஒற்றை மிகை முழுவின் கனமானது (Cube of an odd integer) 6 ஆல் வகுபடும் போது கிடைக்கும் மீதி என்ன?
The cube of an odd integer divisible by 3, when divided by 6, leaves remainder:
விளக்கம்: எ.கா. 3³ = 27. 27 = 6(4) + 3. மீதி 3. 9³ = 729 = 6(121) + 3. மீதி எப்போதும் 3 ஆகும்.
Explanation: Example: 3³ = 27 = 6(4) + 3. The remainder is always 3.
Explanation: Example: 3³ = 27 = 6(4) + 3. The remainder is always 3.
24. இரு மிகை முழுக்களின் மீ.பொ.வ 1 எனில், அந்த எண்கள் எவ்வாறு அழைக்கப்படுகின்றன?
If the HCF of two positive integers is 1, then the integers are called:
விளக்கம்: இரு எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி 1 ஆக இருந்தால், அவை சார்பகா எண்கள் (Co-prime) எனப்படும்.
Explanation: Numbers with HCF = 1 are termed co-prime or relatively prime numbers.
Explanation: Numbers with HCF = 1 are termed co-prime or relatively prime numbers.
25. 7 × 11 × 13 + 13 என்பது எவ்வகை எண்?
The number 7 × 11 × 13 + 13 is a:
விளக்கம்: 13(7 × 11 + 1) = 13(78). 13 தவிர கூடுதல் காரணிகளைக் கொண்டுள்ளதால் இது ஒரு பகு எண் (Composite number) ஆகும்.
Explanation: Factoring out 13 gives 13 × 78, showing it has factors other than 1 and itself (Composite).
Explanation: Factoring out 13 gives 13 × 78, showing it has factors other than 1 and itself (Composite).
26. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின் படி a = bq + r என்பதில் b = 4 எனில், மீதி 'r' எடுக்கக்கூடிய சாத்தியமான மதிப்புகள் யாவை?
In a = bq + r, if b = 4, what are the possible values for remainder 'r'?
விளக்கம்: 0 ≤ r < b என்பதால், b = 4 எனில் r இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் 0, 1, 2, 3 ஆகும்.
Explanation: Since 0 ≤ r < 4, remainder r can take values 0, 1, 2, 3.
Explanation: Since 0 ≤ r < 4, remainder r can take values 0, 1, 2, 3.
27. மிகச்சிறிய பகா எண் (Smallest prime number) மற்றும் மிகச்சிறிய பகு எண் (Smallest composite number) ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ (HCF) என்ன?
What is the HCF of the smallest prime number and smallest composite number?
விளக்கம்: மிகச்சிறிய பகா எண் = 2. மிகச்சிறிய பகு எண் = 4. 2 மற்றும் 4 இன் HCF = 2 ஆகும்.
Explanation: Smallest prime = 2, smallest composite = 4. HCF(2, 4) = 2.
Explanation: Smallest prime = 2, smallest composite = 4. HCF(2, 4) = 2.
28. 615 மற்றும் 154 ஆகிய எண்கள் சார்பகா எண்களா?
Are 615 and 154 co-prime numbers?
விளக்கம்: HCF(615, 154) = 1. எனவே இவை சார்பகா எண்கள் ஆகும்.
Explanation: Since their HCF is 1, 615 and 154 are co-prime numbers.
Explanation: Since their HCF is 1, 615 and 154 are co-prime numbers.
29. 'a' என்ற எண்ணை 9 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 6 கிடைக்கிறது எனில், (2a + 5) ஐ 9 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதி என்ன?
If 'a' leaves remainder 6 when divided by 9, find the remainder when (2a + 5) is divided by 9:
விளக்கம்: a = 9q + 6. 2a + 5 = 2(9q + 6) + 5 = 18q + 12 + 5 = 18q + 17 = 18q + 9 + 8 = 9(2q + 1) + 8. எனவே மீதி 8 ஆகும்.
Explanation: 2a + 5 = 2(6) + 5 = 17. 17 divided by 9 leaves a remainder of 8.
Explanation: 2a + 5 = 2(6) + 5 = 17. 17 divided by 9 leaves a remainder of 8.
30. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி, எந்தவொரு மிகை முழு 'a' ஐயும் 5 ஆல் வகுக்கும் போது பெற முடியாத மீதி எது?
According to Euclid's division lemma, which of the following CANNOT be a remainder when dividing an integer 'a' by 5?
விளக்கம்: 5 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி r இன் மதிப்பு 0, 1, 2, 3, 4 மட்டுமே இருக்க முடியும். 5 அல்லது அதற்கு மேல் இருக்க முடியாது.
Explanation: When dividing by 5, remainder r must satisfy 0 ≤ r < 5. Thus, 5 cannot be a remainder.
Explanation: When dividing by 5, remainder r must satisfy 0 ≤ r < 5. Thus, 5 cannot be a remainder.
Comments
Post a Comment